![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Мощность множества. Кардинальные числа
Рассмотрим множество A и совокупность всех множеств, эквивалентных множеству A. На основании свойства транзитивности все эти множества будут эквивалентны между собой. Назовем такую совокупность множеств классом эквивалентности. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие некоторый символ a (альфа), который будем называть кардинальным числом или мощностью каждого множества, входящего в данный класс эквивалентности.
Таким образом, под мощностью множества Если задан класс эквивалентных множеств
Замечание.
1. Для конечных множеств понятие «число элементов» и понятие мощности множеств совпадают между собой.
2. Для бесконечных множеств понятие «число элементов» смысла не имеет. Можно говорить только о мощности множества. Понятие мощности есть естественное обобщение понятия числа элементов. Пусть
Определение.Конечным множеством называется множество, равномощное множеству
Мощность пустого множества равна нулю
Определение.Непустое и неконечное множество называется бесконечным.
Теорема. Мощность множества A всегда строго меньше мощности множества всех его подмножеств.
Следствие. Если
Определение. Всякое подмножество равномощное множеству натуральных чисел называется счетным, и его мощность равна
Замечание. Алеф – первая буква еврейского алфавита, а
Теорема. Множество всех подмножеств ℬ
Пример.Мощность множества действительных чисел сегмента
Теорема.Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. Т.к.
Континуум-гипотеза:
Теорема. Объединение множества континуума и конечного или счетного множества имеет мощность континуума. Пусть
Теорема. Объединение конечного или счетного числа множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 322; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |