Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Теорема Лагранжа и ее следствия
Теорема(Лагранж) (о конечных приращениях). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство f(b) – f(a) = f'(с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении). Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши, если положить φ(х) = х. В этом случае φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1. Подставляя эти значения в формулу , получаем или f(b) – f(a) = f'(с) (b – a). Формула Лагранжа: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a, b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка. Геометрический смысл формулы Лагранжа. Запишем формулу Лагранжа в виде , где a < c < b. Отношение есть угловой коэффициент секущей АВ, а f'(с) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = с (рис. 2).
Рис. 2 Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ. Следствие 1.Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке. Доказательство. Пусть f'(х) = 0 для любого х є (a, b). Возьмем произвольные х1 и х2 из (a, b) и пусть х1 < х2. Тогда по теореме Лагранжа существует точка с є (a, b) такая, что f(х2) – f(х1) = f'(с) (х2 – х1). Но по условию f'(х) = 0, стало быть, f'(с) = 0, где х1 < с < х2. Поэтому имеем f(х2) – f(х1) = 0 или f(х2) = f(х1). А так как х1 и х2 – произвольные точки из (a, b), то имеем f(x) = с. Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Доказательство. Пусть f'1(х) = f'2(х) при х є (a, b). Тогда (f1(х) – f2(х))' = f'1(х) – f'2(х) = 0. Следовательно, согласно следствию 1, функция f1(х) – f2(х) есть постоянная, т.е. f1(х) – f2(х) = с для . Теорема доказана. Для отрезка [х, х + Δх] формула Лагранжа будет иметь вид: f(х + Δх) – f(х) = f'(с) Δх.
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 243; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |