Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными, и основано на применении производных. Теорема (правило Лопиталя о раскрытии неопределенностей вида и ).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен конечному или бесконечному пределу отношения их производных, если последний существует. То есть, если имеется неопределенность вида или , то . Доказательство рассмотрим для случая, когда функции f(х) и φ(х) дифференцируемы в окрестности точки х0, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения при х → х0. Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [х0, х], лежащего в окрестности точки х0. Тогда , где сє(х0, х). Учитывая, что f(х0) = φ(х0) = 0, получаем .
При х → х0 величина с также с → х0. Тогда перейдем в последнем равенстве к пределу: . Так как , то . Поэтому . Теорема доказана. Замечание 1. Теорема 1 верна и в случае, когда функции f(x) и φ(x) неопределены при х = х0, но и . Достаточно положить и . Замечание 2. Теорема 1 верна в случае, когда х → ∞. Полагая , получим . Замечание 3. Если производные f'(x) и φ'(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(x) и φ(x), теорему 1 можно применить еще раз: и т.д. Пример. .
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 238; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |