Максимум и минимум функции

В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.

Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.

Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.

Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.

Исследование функции на монотонность

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≥0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке) , то функция y=f(x)) возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≤0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X.

Итак:

если существует производная функции в интервале (a,b) и в данном интервале

1) f'(x)≥0, то функция в нём не убывает;

2) f'(x)≤0, то функция в нём не возрастает;

3) f'(x)>0, то функция в нём возрастает;

4) f'(x)<0, то функция в нём убывает.

Пример:

Необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x3−4x2−16x+17.

Сначала находим производную: f'(x)=(x3−4x2−16x+17)'=3x2−8x−16.

Это парабола, которая пересекает ось x в точках x1=−43 и x2=4 и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале (−43;4) (функция убывает) и положительна в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞) (функция возрастает).

Ответ:

функция f(x)=x3−4x2−16x+17 возрастает в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞), убывает в интервале (−43;4).

Выпуклость графика функции
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Схема нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика

Асимптоты графика функции (вертикальные и наклонные)
Асимптота – этопрямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность.
1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида , где «альфа» – действительное число. Популярная представительница определяет саму ось ординат, вспоминаем гиперболу .
Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрывафункции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.
2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом . Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты . Например, та же гипербола с асимптотой .
Наклонные (как частный случай – горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если аргумент функции стремится к «плюс бесконечности» или к «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше 2-х наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции обладает единственной горизонтальной асимптотой при , а график арктангенса при – двумя такими асимптотами, причём различными.

Функции несколько переменных и их непрерывность
1.Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным xи y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y²+4x²<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…tсоответствует определенное значение переменной w, то wназывается функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функцииz=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x²-y² является параболоид.

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

2.Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функцииf(M), где М(x₁,x₂,…x_n) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…x_n⁰) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия < , где - расстояние между точкамиМ и М₀, следует < .

Обозначается:

А .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение функцииz=f(x,y). Если

, (1)

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем x₀+ y+ -f(x₀,y₀) и положим x₀₊ x=x,y₀+ ,то выражение(1) можно записать в виде

f(x,y)=f(x ₀,y₀), (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная , вычисленная при постоянном . Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. Пример 1. . Рассматривая как постоянную величину , получим . Рассматривая как постоянную величину , получим . Пример 2. ; ; ; . Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где . Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть . Полный дифференциал функции вычисляется по формуле . Для функции трех переменных . При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства ; , которые применяются для приближенного вычисления значения функции . (*) Пример 3. Вычислить приближенное значение: . Решение. Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим ; ; ; . Подставляя в формулу (*), найдем: . Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка: ; ; ; . Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: . Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле . Пример 4. . Найти , , . Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ; ; .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 397; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!