Задача о нахождении скорости движения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВА: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Понятие производной возникло еще в XVIIв., когда формировались основные идеи дифференциального исчисления, задолго до построения строгой теории пределов, которую мы рассматривали в предыдущем семестре. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей нахождения скорости движения и задачей проведения касательной к кривой. Рассмотрим одну из этих задач.

Задача о нахождении скорости движения

Закон равномерного движения выражается формулой: ,

где -скорость равномерного движения ( является постоянной величиной), - путь, пройденный к моменту времени .Таким образом путь, пройденный в равномерном движении, является линейной функцией от времени. Его график представляет собой прямую линию.

Из выражения , легко получить формулу ,которая показывает, что для нахождения скорости равномерного движения нужно пройденный путь разделить на время.

Однако большинство движений, наблюдающихся в реальной жизни, не могут считаться равномерными. В случае неравномерного движения путь не является линейной функцией от времени, а представляет собой более сложную функцию.Например, закон свободного падения выражается формулой: , где - ускорение свободного падения.

В общем случае путь является функцией от времени. График некоторой функции (изобразить самим, как на лекции!)

Рассмотрим момент времени и перейдем от него к другому моменту времени .

К моменту тело прошло путь , к моменту тело прошло путь . Это значит, что за время тело прошло путь . Геометрически представляет собой длину отрезка AB.

Итак, за время от момента до момента тело прошло путь .. Если бы в течение этого времени тело двигалось равномерно, то его скорость, согласно формуле была бы равна Отношение называется средней скоростью в промежутке времени от момента до момента . Средняя скорость не может точно характеризовать быстроту перемещения тела в момент . Если, например, тело в начале промежутка передвигалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не отразит этих особенностей движения. Чем меньше промежуток , тем точнее можно охарактеризовать скорость в момент .

Определение: Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив скорость через , получим:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 186; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!