СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ

ТЕОРЕМА:Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть функция - дифференцируема в некоторой точке , следовательно существует , отсюда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции (если функция имеет предел, равный , то ее можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , т.е. если , то )

Имеем , где , при , т.е. , переходя к пределу, при , получаем

А это и означает, что функция непрерывна в точке .

Обратная теорема вообще говоря не верна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Изобразить самим функцию:

Функция в точке непрерывна, но не дифференцируема в ней. Действительно в точке имеем

,

Т.е. если мы рассмотрим предел отношения , то получаем, что этого предела не существует, т.к. предел справа не равен пределу слева, т.е. функция в точке не имеет касательной.

НО:!

Замечание: 1) Поскольку существуют односторонние пределы функции в точке , и , в таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или производные справа и слева) и обозначают и . Если , то производная в точке не существует. Не существует производная и в точке разрыва.

2) Производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то функция называется гладкой.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 268; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!