ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную

Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

; откуда .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: и ,

каждое из которых является бесконечно малой функцией при .

При этом является бесконечно-малой одного порядка малости с , т.к.

Тогда как бесконечно малая более высокого порядка малости, чем , т.к.

Поэтому называют главной частью приращения функции .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, которая равна произведению производной функции на приращение аргумента.

Обозначается

Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

В данном случае , поэтому

С другой стороны: из следует, что , откуда имеем, что .

Т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу можем переписать:

или

Иными словами дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

ПРИМЕР: Найти дифференциал функции:

1.

; откуда

2.

;

Откуда

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 192; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!