Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Понятие дифференцируемости функции в точке
Ответ: Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f (x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + )- f ( x0) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x0называется предел:
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0) имеет вид: y = f ’( x0) · x + b . Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x0) = f ’( x0) · x0 + b , отсюда, b = f ( x0) – f ’( x0) · x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f ( x0) + f ’( x0) · ( x – x0) . Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки –известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / .При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем: отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 291; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |