Краткие теоретические сведения. Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов

Постановка задачи. Требуется вычислить приближенно интеграл

где f(x) — непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Численное интегрирование — набор вычислительных методов отыскания значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Численное интегрирование применяется, когда:

- подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблично-заданной функции;

- подынтегральная функция не имеет аналитического представления первообразной, либо вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

(1.1)

Определённый интеграл функции одной переменной f(x) представляет собой площадь криволинейной трапеции под графиком функции (см. рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Геометрический смысл определенного интеграла функции одной переменной

Все численные методы вычисления определенного интеграла связаны с тем или иным методом аппроксимации функции, . Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции более простой, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). В вычислительных процедурах этих методов используется разбиение интервала интегрирования на n равных участков, что связано с простотой составления вычислительного алгоритма. Данные методы имеют простую геометрическую интерпретацию.

Увеличение количества участков разбиения во всех методах приводит к повышению точности расчета и к увеличению времени выполнения расчетов на ЭВМ. Точность вычисления оценивается абсолютной или относительной погрешностью. Модуль разности между точным и вычисленным значением интеграла называется абсолютной погрешностью, а модуль отношения разности к точному значению интеграла – относительной погрешностью.

У такого подхода повышения точности вычисления есть ограничения, связанные с ошибками округления чисел в ЭВМ. Увеличение количества арифметических операций для получения более точного результата приводит к накоплению ошибок округления, что, в конце концов, сводит на нет эффект от уменьшения шага интегрирования.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 194; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!