Решение линейных и квадратных неравенств

1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .

2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где .

Если a > 0, то .

Если a < 0, то .

Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:

.

Решение: Раскрыв скобки, получим:

.

Ответ:

3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.

При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта:

1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.

2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ (x₁ < x₂), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x₁), (x₁; x₂), (x₂; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x₁; x₂).

3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х₁, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.

Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 272; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!