Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Функции нескольких переменных. Теорема 3.2. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке
Теорема 3.2. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, функция является непрерывной, если . Найдем . Следовательно, непрерывная. Теорема 3.3.Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дифференцируемая. Если y = const, то Dy = 0. Тогда . Если x = const, то Dx = 0. Тогда . Утверждения, обратные утверждениям теорем 3.2 и 3.3, вообще говоря, неверны. Не дифференцируемыми могут быть функции нескольких переменных, которые являются непрерывными или которые имеют конечные частные производные. Приведем примеры. Пример 3.9. Функция непрерывна в точке О(0,0). Покажем, что она не является дифференцируемой. в этой точке, от противного. Если бы она была дифференцируемой, то имела бы частные производные в этой точке (теорема 3.2). Покажем, что частные производные в точке О(0,0) не существуют. Следовательно, не существует. Аналогично получаем, что также не существует.
Пример 3.10. Покажем, что функция имеет частные производные в точке O(0, 0), но не является дифференцируемой. Находим , . Следовательно, частные производные функции в начале координат существуют. Покажем, что функция не является непрерывной в начале координат. Найдем предел этой функции при (точка M(x, y) стремится к началу координат O(0, 0) по биссектрисе координатного угла) . Однако, заданная функция в точке O(0, 0) принимает значение равное нулю , не равняется предельному значению, равному 1. Функция не является непрерывной, а следовательно не является дифференцируемой. Пример 3.11. Покажем, что функция является не дифференцируемой. Данная функция является непрерывной в точке O(0, 0), так как . Также эта функция имеет частные производные в точке O(0, 0): , . Однако, невозможно приращение функции представить в виде линейного выражения относительно и как это требуется для дифференцируемости функции. Следовательно, функция не дифференцируемая.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 303; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |