Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Функции нескольких переменных. Теорема 3.4. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке М (x, y), она должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные в этой
Теорема 3.4. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке М (x, y), она должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем полное приращение функции . В правой части прибавим и вычтем , получим . По теореме Лагранжа о конечном приращении , где , , где . Тогда . Так как частные производные по условию теоремы непрерывны, то , . Используя теорему 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции, запишем , , где - бесконечно малые функции при . Учитывая эти выражения, получим
или . В соответствии с определением дифференцируемости функции это означает, что функция является дифференцируемой. Следствие. Для того, чтобы установить дифференцируемость функции, нужно проверить непрерывность частных производных.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 252; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |