Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Градиент функции, его свойства
Градиентом функции называется вектор , где - единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат. Кратко можно записать . Здесь Ñ - знак набла. Пример 3.22. Найти градиент функции в точке . .
. Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е. . Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется . Здесь j - угол между векторами и , - скалярное произведение векторов, - единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором . Найдем . Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции. Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где j - угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю j = 0 , то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, . Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции. Действительно, . Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется. Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости . Пример 3.23. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке . Находим , , ; , , . Записываем уравнение касательной плоскости Û .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 1500; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |