Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Метод наименьших квадратов (МНК)
При решении экономических задач часто возникает необходимость представления опытных данных в аналитическом виде. Наиболее известным математическим методом для этих целей является метод наименьших квадратов. Пусть имеются опытные данные в виде таблицы
из двух строк, в первой строке которой находятся значения некоторой переменной, принимаемой за независимую, а во второй соответствующие значения другой переменной, принимаемой за функцию. Требуется найти аналитическую функциональную зависимость . Наиболее просто найти аналитическую зависимость возможно с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, который в общем виде записывается следующим образом
.
График данной функции проходит совершенно точно через заданные точки (рис. 50).
Рис. 50
В случае, если имеются два точки , , то данная формула позволяет написать уравнение прямой, проходящей через эти точки . В случае, если имеются три точки , , , то данная формула позволяет написать уравнение параболы, проходящей через эти точки . Если известно n точек, то можно написать уравнение линии, представляющей многочлен (n-1)-ой степени относительно х. Пример 3.25. Написать уравнение параболы, проходящей через точки . В соответствии с многочленом Лагранжа записываем , т. е. . Интерполяционный многочлен Лагранжа позволяет записать уравнение кривой, проходящей через любое число заданных точек. Однако, его удобно использовать при небольшом числе точек. В экономических задачах число точек может быть равным сотням и тысячам. Использование многочленов очень высокого порядка представляет затруднение даже при использовании современных вычислительных устройств. Поэтому при решении экономических задач используют методы аппроксимации. Аппроксимацией называется нахождение функции заданного вида, обеспечивающей наилучшее приближение к опытным данным. В методе наименьших квадратов (МНК) качество приближения оценивается по сумме квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от опытных данных i = 1, 2, … (рис. 51), т. е. . Рис. 51 Функция, по которой оценивается качество аппроксимации, называется критерием качества. Аппроксимирующую функцию выбирают в зависимости от характера расположения точек опытных данных. Эта функция обычно имеет несколько неизвестных параметров . Для нахождения этих параметров составляют критерий качества аппроксимации. В методе наименьших квадратов критерий качества примет вид . Для нахождения неизвестных параметров a, b, c, …, обеспечивающих минимальное значение критерию качества, используют необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. Согласно данному признаку в точках экстремума функции нескольких переменных все частные производные либо равны нулю, либо не существуют. Функция данного вида является дифференцируемой, поэтому при оптимальных значениях параметров a, b, c, … все частные производные критерия качества должны равняться нулю, т. е. В качестве аппроксимирующих функций часто используют функции следующего вида: 1) ; 2) ; 3) . Составим системы уравнений для нахождения параметров аппроксимирующих функций. 1. В случае, когда критерий качества имеет вид . Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения a, b. Û 2. В случае, когда критерий качества имеет вид . Найдем частные производные этой функции, получим систему для нахождения коэффициентов a, b, с. Û 3. В случае, когда аппроксимирующая функция имеет вид , необходимо сначала прологарифмировать эту функцию . Тогда критерий качества . Система для нахождения lna и lnb имеет вид Û После того, как будут найдены логарифмы lna и lnb нужно найти a и b. Пример 3.26. Заапроксимировать опытные данные
многочленом второй степени . На рисунке изобразить опытные данные («жирными точками») и график аппроксимирующей функции. Вычислить значение критерия качества. Вычисления коэффициентов системы для нахождения коэффициентов a, b, c приведены в таблице.
Составляем систему для нахождения коэффициентов a, b, c и решаем ее. Аппроксимирующая функция .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 323; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |