Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Функции двух переменных
Теорема 3.8. Если функция в окрестности точки является непрерывной и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. , то: 1) если , ,
где , , ,
то является точкой минимума; 2) если , то является точкой максимума; 3) если , то не является точкой экстремума; 4) если , то данный признак не позволяет решить вопрос об экстремуме функции в этой точке (требуются дополнительные исследования). Д о к а з а т е л ь с т в о. Судить о поведении функции в некоторой окрестности точки будем по знаку величины приращения функции в этой точке. Если полное приращение функции для любой точки окрестности больше (меньше) нуля , то - точка минимума (максимума) (рис. 49). Согласно формуле Тейлора приращение функции равняется , где . По условию теоремы частные производные первого порядка в точке равны нулю, т. е. эта точка является стационарной. Поэтому . Тогда в первом приближении с учетом только одного первого отличного от нуля слагаемого в точке равно . Запишем более подробно дифференциал второго порядка . Данный дифференциал представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных . Его можно записать в виде . По критерию Сильвестра квадратичная форма является определенно положительной, если все ее главные миноры положительные, т. е. . В этом случае , т. е. выполняются условия локального минимума в точке Û
.
Если , то .
Тогда точка будет являться точкой локального максимума. Следовательно, для того, чтобы в точке был максимум дифференциал должен быть отрицательным . Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма будет отрицательно определенной, если . Если для квадратичной формы минор второго порядка , то квадратичная форма, а следовательно и приращение функции не являются знакоопределенными в окрестности точки и эта точка не является точкой локального экстремума. Если же , в точке равен нулю, то знак приращения будет определяться дифференциалом третьего порядка , который является более высокого порядка малости по сравнению с . Для решения вопроса об экстремуме функции в этом случае необходимы дальнейшие исследования. Пример 3.24. Исследовать на экстремум функцию . Находим критические точки. Для этого согласно необходимому признаку экстремума, находим частные производные первого порядка, приравниваем их нулю и решаем систему. Û Þ Þ Þ Имеется две критические точки и . Используем достаточный признак для исследования этих точек на экстремум. Находим , , . Для точки находим , , ; . Следовательно, не является точкой экстремума. Для точки находим , , ; . Так как , в точке имеет место минимум. Находим значение функции в этой точке . Ответ: в точке .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 259; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |