Задача о производительности труда

Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент времени t_0.

За период времени от t₀ до (t₀+Dt) количество произведенной продукции изменится от значения u₀=u(t₀) до значения u₀+Du=u(t₀+Dt); тогда средняя производительность труда на этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀+Dt при , т.е.

.

- 2 -

Определение. Производной функции у=f(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

.

Производная функции также может быть обозначена одним их символов .

Функция у=f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная функции у=f(х) может быть найдена по схеме:

1. Дадим аргументу х приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции у+Dу=f(х+Dх).

2. Находим приращение функции Dу= f(х+Dх)-f(х).

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Пример. Используя определение найти производную функции у=х³..

Решение.

1) Дадим аргументу х приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции у+Dу=(х+Dх)³.

2) Находим приращение функции Dу=(х+Dх)³-х³=х³+3х²Dх+3хDх²+Dх³-х³=Dх(3х²+3хDх+Dх²).

3) Составляем отношение =3х²+3хDх+Dх².

4) Находим предел = (3х²+3хDх+Dх²)= 3х².

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 199; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!