Правила дифференцирования

1. Правила дифференцирования.

2. Производные сложной и обратной функций.

3. Производные основных элементарных функций, таблица производных.

4. Производные высших порядков.

- 1 -

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(x) и - две дифференцируемые на некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций:

. (1)

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

. (2)

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

Теорема 3. Производная частного двух функций , если ≠0 равна дроби, числитель который есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

. (3)

Следствие 3. .

Следствие 4. , где с = const.

Пример 1. Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.

Значение производной в точке х=1 есть .

- 2 -

Пусть переменная y есть функция от переменной u , то есть у=f(u), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х, то есть задана сложная функция .

Теорема 4. Если функция имеет производную в точке х, а функция у=f(u) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке х, которая находится по формуле

. (4)

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=f(u), , , то .

Пусть y=f(x) и - взаимно-обратные функции.

Теорема 5. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

или .

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки простых функций: , где , где , где . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Пример 3. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .

Решение. Обратная функция имеет производную . Следовательно

.

- 3 -

Таблица производных элементарных функций

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция	Производная
	с
	х
	,

-4-

Производная функции y=f(x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (y^V или y⁽⁵⁾). .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 228; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!