Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Дифференциал функции
1. Понятие дифференциала. 2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. 3. Дифференциалы высших порядков. -1- Пусть функция y=f(x) имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , т.к. , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем : . Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции ∆у. Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х называется главная линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)): . (1) Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х. Так как у´=х´=1, то согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению переменной: dx=∆x. Поэтому формулу (1) можно записать так: . (2) Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы (2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx. Пример 1. Найти дифференциал функции . Решение: По формуле находим . Геометрический смысл дифференциала функции. Проведем к графику функции y=f(x) в точке М(х;у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рис. . Из треугольника МАВ имеем , то есть . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому Сравнивая полученный результат с формулой (1), получаем dy=AB, т.е. дифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение . - 2 - Как уже известно, приращение Δу функции y=f(x) в точке х можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем Δx, получаем приближенное равенство (2) причем это равенство тем точнее, чем меньше Δx. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (2) широко применяется в вычислительной практике. Подставляя в равенство значения Δу и dy, получим или (3) Формула (3) используется для вычислений приближенных значений функций. Пример 4. Вычислить приближенно arctg 1,05. Решение: Рассмотрим функцию f(x)=arctg x. По формуле (3) имеем: т.е. . Так как x+Δx=1.05, то при х=1 и Δх =0.05 получаем: -3- Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал - есть также функция и можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается . Итак, по определению d2y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции y=f(x). Так как dx=Δx не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным и можно выносить за знак дифференциала. т.е. . (4) Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: Отсюда находим, что . В частности, при n = 1,2,3 соответственно получаем т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. Пример 5. Найти d2y, если y=e3x и х – независимая переменная. Решение: Так как то по формуле (4) имеем .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 328; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |