Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке кривая выпукла вверх на интервале , выпукла вниз на интервале , точка М - точка перегиба.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, но точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 280; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!