Геометрическая интерпретация решений

Основные понятия дифференциальных уравнений

Соотношение вида , связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные, называетсядифференциальным уравнением.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Интегралом (или решением) дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая уравнение в функциональное тождество при подстановке в него этой функции и ее производных взамен неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида , или уравнение вида , разрешенное относительно производной, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную.

В простейшем случае дифференциальное уравнение имеет вид . Решение этого дифференциального уравнения определяется формулой: , где С – произвольная постоянная.

Начальным условием дифференциального уравнения первого порядка называют пару соответствующих друг другу значений независимой переменной (х₀) и функции (у₀). Записывается в виде: у₀=у(х₀).

Функция y = j(x, C), где С – произвольная постоянная,называется общим решениемдифференциального уравнения , если: она является решением дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С; существует такое единственное значение С=С₀, что функция удовлетворяет начальному условию у₀=у(х₀),каково бы оно ни было.

Частным решениемдифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С.

Задачей Кошиназывается нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка). Если функция и ее частные производные и непрерывна в некоторой области, содержащей точку , то существует, и притом единственное, решение уравнения такое, что у обращается в у₀ при х=х₀.

Геометрическая интерпретация решений

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 187; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!