Дифференциальных уравнений

Геометрически общее решение y = j(x, C) представляет собой множество интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С. Если задать точку , через которую должна проходить интегральная кривая, то из бесконечного множества интегральных кривых выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению дифференциального уравнения.

В каждой точке области плоскости Оху, в которой справедлива теорема существования и единственности решения, уравнение определяет величину углового коэффициента касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Эту величину графически изображают линией, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент . Таким образом, уравнение устанавливает поле направлений на плоскости Оху.

Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля ( ) называется изоклиной дифференциального уравнения (линией равных наклонов). В всех точках одной изоклины, соответствующей одному С, касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление.

Геометрический метод решения дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к ним имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания.

Пример. Дано дифференциальное уравнение .Построить поле направлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.

Имеем . При х=0 и любом имеем , то есть во всех точках оси Оу поле горизонтально. При х=1 и любом имеем , то есть поле образует угол 45⁰ с осью Ох. Так как данная функция , то поле симметрично относительно оси Оу, и через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, различные интегральные кривые не пересекаются, то получается рисунок 1.

Поле направлений Интегральные кривые

Рис. 1

Точные интегральные кривые имеют вид: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 318; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!