С постоянными коэффициентами

Решением дифференциального уравнения вида является фундаментальная система решений , представляемая в виде общего решения .

Решения фундаментальной системы определяется по методу Эйлера, в котором частное решение уравнения ищется в виде , где k = const. Тогда то

При этом многочлен называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения, а характеристическим уравнением.

Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения. Различают три случая:

1. Все корни характеристического уравнения различны:

1) вещественны - , тогда .

2) имеются комплексные - , тогда .

2. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:

1) - вещественный корень кратности s,тогда

.

2) - комплексный корень кратности s, тогда

,

где C_i –постоянные коэффициенты.

В частности для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка . Если и – корни характеристического уравнения , то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (см. табл. 1): Таблица 1

	Корни и	Общее решение ЛОДУ
1)	действительные и различные ( )
2)	действительные и равные ( )
3)	комплексные (а и b – действительные числа)

Пример. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ; ; . Так как и – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид: , , – комплексно-сопряженные корни, , . Общее решение имеет вид , отсюда .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 171; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!