Произвольными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с произвольными коэффициентами:

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения применяют метод вариации произвольных постоянных. Суть метода заключается в следующем:находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде: ; затем, полагая коэффициенты C_i функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения: , где функции C_i(x) находятся из системы уравнений:

Пример.Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: .

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 181; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!