Коэффициентами

Система уравнений: _,

где х - независимая переменная, у₁, у₂,…,у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид: .

Теорема (Теорема Коши): Если в некоторой области функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение системы дифференциальных уравнений вида, определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

Общим решениемсистемы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в исходную систему обращают уравнения в верные тождества.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3).

Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде: .

Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем подстановки: и , где .

Заменив и перенеся все элементы в одну сторону и сократив на e^kx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:

Это уравнение называется характеристическим уравнениеми имеет три корня k₁, k₂, k₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:

Тогда общее решение данной системы запишется в виде:

В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения действительные решения имеют вид: и . В этом случае сразу записывают , , и находят функции z₁, z₂, u₁ и u₂, выражая их через функции y₁ и y₂ и их производные.

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k₁:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k₂:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: .

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения:

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

;

Тогда

Обозначив , получаем решение системы: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 187; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!