Уравнение

(2)

является линейным относительно и .

Если , то уравнение (1) принимает вид и называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пример 1.Решить дифференциальное уравнение: .Решим уравнение двумя способами:

Метод Лагранжа.

1)Найдём общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному , то есть . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные имеем

, , , то есть - общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному.

2) Общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде (произвольную постоянную заменили неизвестной функцией C(x)). Подставив и в исходное уравнение, найдём а с ней и решение уравнения.

, тогда подставляя и в данное уравнение, получим:

,

т.е.

.

Отсюда , , .

Следовательно, общее решение заданного уравнения есть

, или .

Ответ: .

Метод Бернулли.

Полагаем - общее решение исходного уравнения, где и - некоторые функции от x, подлежащие определению. При этом одну из этих функций (например, ) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определиться из уравнения (1)(или (2)). Тогда . Подставляя и в данное уравнение, получим:

или

. (3)

Подберём функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, то есть решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Отсюда , , откуда , . Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого решения уравнения, то возьмем (положили ). Подставляя функцию в уравнение (3) получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию :

, то есть , и, следовательно .

Таким образом, или - общее решение исходного уравнения.

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 241; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!