Дифференциальные уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ называют порядком этого уравнения.

Решение ОДУ – непрерывно-дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение ДУ - функция y = φ(x;С), где С – произвольная постоянная (произвольная константа). Общий интеграл Ф(х;у;С) = 0.

Частное решение ДУ получается из общего фиксированием значения произвольной константы С (например, С = 0, 1, 2, …)

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения - интегральной кривой.

№	Название уравнения, его общий вид	Способ решения	Пример
ДУ первого порядка F(x; y; y¢)=0 или y¢=f(x; y)
	ДУ с разделенными переменными
	ДУ с разделяющимися переменными	Обе части поделить на P2(x)×Q1(y) ≠ 0. См. вид 1.
	Однородное ДУ первого порядка , где P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одного порядка	y = ux, dy = xdu + udx Подставить в уравнение. В решении заменить
	Линейное ДУ Если g(x) = 0 однородное, если g(x) ≠ 0 неоднородное,	Метод Бернулли y = u(x)v(x), y¢ = u¢v + uv¢ Решаем уравнение , подставляем v в уравнение Метод Лагранжа Решаем . . Считаем С функцией С(х). Находим	y¢ + 2xy = 2x
	Уравнение Бернулли n ≠ 0, n ≠ 1	Делим на yn y1-n= z. Ур-ние принимает вид
	ДУ в полных дифференциалах , если Условие:	Находим φ(y).

ОДУ порядка, выше первого, называют ДУ высших порядков.

ДУ второго порядка

ДУ, допускающие понижение порядка
		y¢ = p(x)
		y¢ = p(x)
		y¢ = p(y)
Другие ДУ высших порядков
	Линейное однородное	Общее решение y = C1y1(x) + C2y2(x), где y1(x), y2(x) – фундаментальная система решений Вронскиан
	Линейное неоднородное	Общее решение , где y* - произв. частное решение, - общее решение соответствующего однородного уравнения
	ЛОДУ с постоянными коэффициентами , p,qÎR	Характеристическое уравнение: k2+pk+q =0 1) D>0, корни k1, k2 2) D=0, корень k1 3) D<0, комплексно-сопряженные корни α+iβ, α – iβ	1) 2) 3)
	ЛНДУ с постоянными коэффициентами , p,qÎR	1) g(x) = Pn(x)eαx r – кратность α как корня характеристическ. ур-ния 2)g(x)=eαx(Pn(x)cosβx+Qm(x)sinβx) d = max(n, m)	1) 2)

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 219; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!