Приближенное решение дифференциальных уравнений первого прядка методом Эйлера

Мы познакомились с несколькими из способов нахождения точных решений дифференциальных уравнений первого порядка. А как быть, если ни один из них не приводит к цели или требует сложных вычислений? В таких случаях прибегают к приближенным методам решений уравнений. Здесь мы познакомимся с простейшими из них, с так называемым методом Эйлера.

Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломанной.

Пусть даны дифференциальное уравнение

y’=f(x,y)

и начальные условия у_х=х0=у_0. Найдем приближенное решение уравнения на отрезке [x₀,b], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок [x₀,b] точками x₀<x₁<x₂<…<x_n=b на n равных частей. Обозначим x₁-x₀=x₂ –x₁=…=x_n-x_n-1=Ñх. Через у обозначим приближенное значение искомого решения в точках х_i (i=1,2,3…n). Проведем через точки разбития х_i прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Подставляем значения х0и у0в правую часть уравнения y’=f(x,y) и вычисляем угловой коэффициент y’=f(х0,у0) касательной кривой в точке (х0,у0). Для вычисления приближенного значения у₁ искомого решения заменяем на отрезке [x₀,х] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0,у0). При этом получаем

у1,у0= f (х0,у0) (х1,х0)

откуда, так как величины х0 х1 у0известны, находим

у1= у0+ f (х0,у0) (х1,х0), или у1= у0+ f (х0,у0)Ñх

подставляя значения х1 у1в правую часть уравнения y’=f(x,y), вычисляем угловой коэффициент y’=f(х1,у1) касательной к интегральной кривой в точке (х1,у1). Далее, заменяя на отрезке [x₁,х₂] интегральную кривую отрезком ее касательной, находим приближенное значение решения у2в точке х2:

у2= у1+ f (х1,у1) (х2,х1), или у2= у1+ f (х1,у1)Ñх

В этом равенстве известными величинами являются х1 х2 у1а у2определяется через них.

Аналогично вычисляем

у3= у2+ f (х2,у2)Ñх

………………….

уn= уn-1+ f (хn-1,уn-1)Ñх

Таким образом, мы приближенно построили искомую интегральную кривую в виде ломанной и получили приближенные значения у_i искомого решения в точках х_i. При этом значения у_i вычисляются по формуле

уi= уi-1+ f (хi-1,уi-1)Ñх (i=1,2,3…n) (22)

Формула 22 есть основная расчетная формула метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность Ñх.

Следует отметить, что степень точности метода Эйлера, вообще говоля невелика. Существует гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. С ними можно познакомится в специальных курсах.

Пример 7. Найти приближенное решение уравнения y’=y+x на отрезке [0,1] удовлетворяющее начальным значениям х0=0 у0=1и вычислить у нри х=1

Решение. Разделим отрезок [0,1] на 10 равных частей точками 0:0,1:0,2:…1.

Обозначим через у1 у2 у3…. у10приближенные значения решения, которые будем искать по формуле 22. Имеем

у₁=1+(1+0)*0,1=1,1

у₂=1,1+(1,1+0,1)*0,1=1,22

аналогично находятся остальные значения у, причем результаты вычислений удобно расположить в виде таблицы, заполняя последовательно одну строку за другой.

Третий столбец таблицы содержит приближенные значения у искомого решения данного уравнения на (0,1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Приближенное значение функции равно 3,1873 при х=1.

Чтобы сравнить приближенный результат с точным, найдем точное решение данного уравнения при тех же начальных условиях. Так как уравнение линейное, то применяем метод вариации постоянной. Вначале находим общее решение однородного уравнения:

dy/dx=y, dy/y=dx, ln|y|=x+ln|C|, y=Ce^x

Варьируем постоянную: y=C(х)e^x , y’=C’(x)e^x +C(x)e^xи, подставляя в данное уравнение, получим

C’(x)e^x +C(x)e^x=C(x)e^x +х,

C’(x)=хe^{- х} , C(x)= -хe^{- х} -e^{- х} +С₁

у=С₁e^x – х – 1

-общее решение данного уравнения. Подставляя вместо х и у начальные условия х0=0 у0=1 находим С₁=2, и точное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям у=2e^x – х - 1. Значение точного решения при х=1 равно у(1)=2(е-1)»3,4366. Сравнивая с приближенным значением, видим, что абсолютная ошибка не больше 0,2293.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 242; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!