Главная страница Случайная лекция
Мы поможем в написании ваших работ!
Порталы:
БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика
Мы поможем в написании ваших работ!
Уравнение в полных дифференциалах
Определение 7. Уравнение вида
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (16)
Где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x,y) в некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.
Если уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах то его можно записать следующим образом:
dF(x,y)=0
Где F(x,y) - такая функция, что dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Отсюда следует, что общее решение уравнения 16 в неявном виде определяется уравнением
F(x,y)=C
Где С – произвольная постоянная. Действительно, если у=j(х) является решением уравнения 16, то dF(x,j(x))=0 т.е. F(x,j(x))=C, и наоборот, для любой функции у=j(х), обращающей в тождество уравнение F(x,y)=C получим dF(x,j(x))=0 т.е. y=j(x) – решение уравнения 16.
Таким образом, нахождение решения уравнения 16 сводится к отысканию такой функции F(x,y) дифференциал которой равен P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
Как известно, для того чтобы выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy было полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) необходимо и достаточно, чтобы
дP/дy=дQ/дx (17)
 |
Допустим, что условие 17 выполнено. Тогда существует функция F(x,y) такая, что
 |
Отсюда
Из соотношения дF/дх=Р(х,у) находим
F(x,y)=òP(x,y)dx+C(y) (19)
 |
Где С(у) – произвольная функция от у. Теперь подберем функцию С(у) так, чтобы выполнялось второе из соотношений 18 для этого продифференцируем найденную функцию F(x,y) по у и результат прировняем Q(x,y):
Из полученного уравнения 20 определяем C’(y) и интегрируя находим С(у). Подставляя найденную функцию С(у) в соотношение 19, получаем в неявном виде общее решение уравнения 16.
Чтобы выделить из решения частное, удовлетворяющее начальным условиям х0=х, у0=унадо в общем уравнении F(x,y)=C х и у заменить начальными условиями. Тогда С=F(х0,у0), и F(x,y)= F(х0,у0)будет искомым частным решением.
Пример 6. Найти общее решение уравнения (х+у+1)dx+(x-y2+3)dy=0 и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х0=1 у0=0.
Решение. Здесь P(x,y)=x+y+1 , Q(x,y)=x-y2+3.Так как
д(х+у+1)/ду=1=д(x-y2+3)дх
то выражение (х+у+1)dx+( x-y2+3)dy является полным дифференциалом некоторой функцииF(x,y)
Имеем
Имеем функцию С(у) по формуле 20
 |
Подставляя найденное С(у) в 21 получаем
 |
Данное уравнение принимает вид dF(x,y)=0, а его частное решение определяется уравнением
 |
Объединяя произвольные постоянные С1 С2 в одну, получаем окончательное уравнение, определяющее неявным образом общее решение исходного дифференциального уравнения:
 |
Найдем теперь значение постоянной С3 при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям: 3*1+6*1*0+6*1-2*0+18*0=С3 отсюда С3 и искомое частное решение определяется уравнением
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Линейные уравнения | | | Приближенное решение дифференциальных уравнений первого прядка методом Эйлера |
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 327; Нарушение авторских прав
Мы поможем в написании ваших работ!