Линейные уравнения

Определение 6. Уравнение вида

y’=p(x)y=f(x), (10)

где р(х) и f(x) – непрерывные функции, называемые линейно дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее первая y’производная входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если f(x)=0, то уравнение (10) называется линейно однородным уравнением. Если f(x)¹0, то уравнение (10) называется линейно неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения

y’+p(x)y=0 (11)

соответствующего данному уравнению (10). Уравнение (11) – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

dy/y= -p(x)dx, ln|y|= -òp(x)dx+ln|C₁|.

Отсюда потенцируя, находим общее решение уравнения (11):

y=± C₁e^{- ò p(x)dx}

или

y=Ce ^{- ò p(x)dx} (12)

где С=± C₁ – произвольная постоянная.

Теперь с помощью (12) найдем оющее решение линейного неоднородного уравнения (10). Будем искать общее решение уравнения (10) в виде (12), где С будем считать не постоянной, а функцией от х (в этом смысл метода)

y=C(х)e ^{- ò p(x)dx} (13)

Где С(х) – новая неизвестная функция от х. Чтобы найти функцию С(х) и тем самым решение а виде (13), подставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

C’(х)e ^{- ò p(x)dx} - C(x)p(x)e ^{- ò p(x)dx} +p(x)C(x)e ^{- ò p(x)dx} = f(x)

или

C’(x)=f(x) e ^{ò p(x)dx} (14)

Чтобы соотношение (13) было решением уравнения 10 очевидно, функция С(х) должна удовлетворять уравнению 14. Интегрируя его, находим

С(х)=òf(x)e ^{ò p(x)dx} dx+ C₁

где C₁- произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение в соотношение 13, получаем общее решение линейного уравнения 10:

С(х)= C₁ e ^{- ò p(x)dx}+ e ^{- ò p(x)dx}òf(x)e ^{ò p(x)dx} dx. (15)

заметим, что при решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем пользоваться громоздкой формулой 15.

Пример 5. Найти общее решение уравнения y’+3y= e^2x

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х)=3. f(x)= e^2x .Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y’+3y=0 разделяя переменные dy/y= -3dx и интегрируя находим

Ln|y|= -3x+ln|C₁|, y=± C₁ e^{- 3x} =Ce^{- 3x}

Имеем общее решение данного уравнения в виде у=С(х)e^{- 3x}. Дифференцируя, находим у’=С’(х)e^{- 3x} – 3C(x)e^{- 3x}. Подставляя в данное выражение для у и у’, получаем

С’(х)e^{- 3x} =e^2x, c’(x)=e^5x, dC=e^5x dx,

Откуда С(х)=1/е^3x+C₂, где C₂- произвольная постоянная. Следовательно общее решение данного уравнения имеет вид

у=С(х) e^{- 3x}=(1/5е^5x+C₂) e^{- 3x}, у=1/5е^2x C₂ e^{- 3x}

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 163; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!