Уравнения с разделяющими переменными

Определение 5. Уравнение вида

Где f1(x) и f2(у) – непрерывные функции зависящие только от одного аргумента, называется диффенциальным уравнением с разделяющими переменными.

В котором переменная х входит только в правую часть, а переменная у – только в левую ( в таком случае говорят, что переменные разделены).

Где С – произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение уравнения (6).

Пример 4. Решить уравнение y’=y/x (сравните с примером 3).

Решение. Данное уравнение есть уравнение вида (6), где

F₁(x)=1/x , f₂(y)=y

Разделяя переменные получим dy/y=dx/x. Интегрируя, будем иметь òdy/y=òdx/x+ln|C₁|, C₁¹0, или ln|y|=ln|x|+ln| C₁|. Потенцируя, находим |y|=|C₁||x|, что эквивалентно уравнению у=± C₁х. Полагая ± C₁=С, окончательно получим

У=Сх (9)

-общее решение данного уравнения, где С – произвольная постоянная, которая может принимать как положительное, так и отрицательное значение, но С¹0. Заметим, однако, что у=0 является решением уравнения , оно было потеряно при делении на у. Это решение можно включить в (9), если считать, что постоянная С принимает значения С=0. Геометрически общее решение (9) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.

Пусть требование выделить из общего решения (9) частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: х0=1, у0=1. Подставляя эти значения в общее решение (9) вместо х и у, получим 2=с*1, отсюда с=2. Таким образом, искомое частное решение у=2х.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 254; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!