Решение уравнения. Задача Коши

Определение дифференциального уравнения первого порядка.

Определение 1. Уравнение вида

F(x,y,y’)=0 (1)

Где х – независимая переменная, у – искомая функция, у’ – ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у’ , то его можно записать в виде

y’=f(x,y) (2)

Уравнение (2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде dy/dx=f(x,y)или в виде f(x,y)dx-dy=0 , являющимся частным случаем более общего уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (3)

Где P(x,y) и Q(x,y) – известные функции . Уравнение в симметричной форме (3)удобно тем, что переменные х,у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2) и (3)

y’=xey , y’=(yln(x))/x, y’=x+y, xdx+ydy=0

Решение уравнения. Задача Коши

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция у=j(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так например, функция у=х3 является решением уравнения 3y-xy’=0 т.е. при подстановке в уравнение обращает его в тождество: 3х3 –х3х2 =0.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Возникает вопрос, при каких условиях уравнение (2) имеет решение. Ответ дает теорема Коши, называемая теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15,1. (теорема Коши)

Если в уравнении y’=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная y’y определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, существует единственное решение у=j(х) данного уравнения, удовлетворяющее условию

y=y0 при x=x0 (4)

теорема принимается без доказательства.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x0,y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=j(х) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называется начальными условиями решения и записывается обычно так:

Точки плоскости, в которых не выполняется условия теоремы Коши, называются особыми точками. Через каждую из них может проходить либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

3. Общее и частное решения уравнения.

Дадим теперь два основных определения.

Определение 3. Общим решением уравнения (2) в некоторой области G называется функция y=j(x,C), зависящая от х и одной произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях (5) таких, что (x0,y0)ÎG, существует единственное значение постоянной С=С0такое, что функция y=j(x,C) удовлетворяет данным начальным условиям: j(x0,С0)= y0.

Определение 4. Частным решением уравнения (2) в некоторой области G называется функция у=j(x0,С0), которая получается из общего решения y=j(x,C) при обделенном значении постоянной С=С0.

Геометрически общее решение y=j(x,C) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение у=(x,С0) – одну интегральную кривыю этого семейства, проходящую через заданную точку (x0,y0).

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением – решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям Коши, так как функция и

определены и непрерывны на всей плоскости Оху.

где С – произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной С получается различные решения данного уравнения. Например, если С=0, то , если С=-1, то и т.д.

вместо х и у, получим

Пример 2. Рассмотрим уравнение y’= -y/x.

Данное уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка. Функции f(x,y)= -y/x и f’y(x,y)= -1/x непрерывны при х¹0. Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, данное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси Оу, являются особыми.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения в областях у>O и у<0 является функция у=С/х, где С – произвольная постоянная. При различных значениях С: С=1/2, С= -1, С=1, С=2 и т.д. получаются различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным условиям х0=1, у0=1. Имеем 1=С/1. Отсюда С=1 и искомое частное решение у=1/х.

Геометрически общее решение данного уравнения – семейство гипербол у=С/х, каждая из которых изображает частное решение данного уравнения. Задавая начальные условия х0=1, у0=1мы выделим ту гиперболу, которая проходит через точку (1:1) плоскости Оху.

Заметим, что через особые точки, лежащие на оси Оу, не проходит ни одна интегральная кривая.

4. Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x,y) и пусть функция у=j(х) есть решение данного уравнения. График решения есть непрерывная интегральная кривая, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент y’ касательной к интегральной кривой в каждой ее точке (х,у) равен значению в этой точке правой части уравнения f(x,y) . Таким образом, уравнение y’=f(x,y) устанавливает зависимость между координатами точки (х,у) и угловым коэффициентом y’ касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, мы можем указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х,у).

Сопоставим каждой точке (х,у) интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f(x,y). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение y’=f(x,y) определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения есть интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точки.

Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые и по их форме определить решение уравнения.

Пример 3. Рассмотрим уравнение y’=y/x.

Функция f(x,y)=y/x не определена при х=0, следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости, кроме оси Оу.

В каждой точке (х,у) (х¹0) угловой коэффициент y’ касательной к интегральной кривой равен х/у и совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку (х,у). Очевидно, что интегральные кривые будут прямые у=Сх (С произвольная постоянная), т.е. направление этих прямых всюду совпадают с направлением поля.

Теперь перейдем к изучению методов нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Сразу, отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматриваются отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой способ нахождения решения

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 433; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!