Окончательно решение задачи Коши в неявной форме имеет вид

.

Задача4. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение.Уравнение записано в дифференциальной форме, но с помощью элементарных преобразований его нельзя привести к виду (2.5). Следовательно, уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах (§2, пункт 5).

, .

Найдем частные производные

, .

Таким образом, , и уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

.

Дифференцируя последнее выражение по , получим

.

С другой стороны,

.

Приравнивая правые части полученных равенств, находим

или .

Тогда . Полагая и подставляя в выражение для функции , находим

.

Общий интеграл имеет вид

.

Подставляя в последнее уравнение из начального условия и , находим, что . Тогда решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид

.

Задача5. Методом неопределённых коэффициентов найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение можно записать в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, а - некоторое частное решение данного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид . Оно имеет два равных вещественных корня , и, следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения примет вид . Правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени. Число λ = 0 не является корнем характеристического уравнения, значит, частное решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде многочлена второй степени с неопределёнными коэффициентами . Для того, чтобы найти эти коэффициенты, вычислим и , а затем подставим их в исходное уравнение. Итак, . При подстановке в уравнение получим . Сгруппируем по степеням х: . Приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными , решив которую, найдём значения . Таким образом, , а общее решение исходного уравнения есть . Теперь чтобы определить значения , воспользуемся начальными условиями , предварительно продифференцировав найденное решение: . Получим систему , решив которую, найдём значения . Окончательно получаем частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям в виде .

Задача6. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , двумя способами: а) методом неопределённых коэффициентов; б) операционным методом.

Решение методом неопределённых коэффициентов. Общее решение можно записать в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, а - некоторое частное решение данного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид . Оно имеет два разных вещественных корня , и, следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения примет вид . Правая часть исходного уравнения является экспонентой. Число λ = 1 не является корнем характеристического уравнения, значит, частное решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде , где А - неопределённый коэффициент. Вычислим производные, а затем подставим их в исходное уравнение. Итак, . При подстановке в уравнение получим , то есть , откуда легко видеть, что А = -1/9. Таким образом , а общее решение исходного уравнения есть . Теперь чтобы определить значения , воспользуемся начальными условиями , предварительно продифференцировав найденное решение . Получим систему , решив которую, найдём значения . Частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, примет вид .

Решение операционным методом. Обозначим черезрешение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, а через его изображение. Тогда . Так как у нас , то . По таблице изображений находим и составляем вспомогательное уравнение или , откуда получаем . Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

.

Приравнивая числители, получим соотношение для определения коэффициентов

Теперь если задать , то получим ,

если задать , то получим ,

если задать , то получим .

Итак, . Пользуясь таблицей изображений, находим решение .

Задача 7. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию , на отрезке с шагом .

Решение. Используем приближенный метод Эйлера (§6).

,

, , , , ,

Используя (6.3) , находим

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Вычисления удобно представить в виде таблицы

		0,5	1,05
	0,1	0,547619	1,104762
	0,2	0,593074	1,164069
	0,3	0,636552	1,227724
	0,4	0,678219	1,295546
	0,5	0,718219	1,367368
	0,6	0,75668	1,443036
	0,7	0,793717	1,522408
	0,8	0,829431	1,605351
	0,9	0,863914	1,691742
		0,897247	1,781467

По найденным значениям строится интегральная кривая.

Список литературы:

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. т.1,2 -М.:ИНТЕГРАЛПРЕСС, 2001.

2.Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения.СПб, Специальная литература, 1996

Учебное издание

АРТАМОНОВА НИНА ЕВГЕНЬЕВНА

ЛАПШИНА НАТАЛИЯ ВАЛЕРИАНОВНА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к выполнению контрольной работы №7 для студентов заочного факультета

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать с оригинал-макета

Формат 60x84 1/16. Бумага для множ. апп. Печать офсетная.

Усл. печ. л. Уч.-изд.л. Тираж

Заказ Цена

Петербургский государственный университет путей сообщения.

190031. СПб., Московский пр., 9.

Тип. ПГУПС, 190031. СПб., Московский пр., 9.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 226; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!