Проинтегрировав последнее уравнение, окончательно получим

.

Задача2.Найти общее решение уравнения

.

Решение.Уравнение записано в обычной, недифференциальной форме. Поделив обе части уравнения на , получим

.

Сравнивая полученное выражение c (2.13), убеждаемся, что уравнение является линейным (§2, пункт4).

, .

Решение ищем в виде .

Из (2.17) получим уравнение для нахождения функции v

.

Разделяя переменные, имеем . Интегрируя, находим или .

Подставляя найденное в (2.18), получаем уравнение для определения

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим

.

Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Задача3. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение.Уравнение записано в недифференциальной форме. Очевидно, что его нельзя привести к виду (2.8), (2.13), (2.14), то есть уравнение не является однородным, линейным и Бернулли. Перейдем к дифференциальной форме записи (2.2). Для этого заменим на , умножим обе части уравнения на и все перенесем в левую часть. В результате имеем

.

Очевидно, что это уравнение является уравнением с разделенными переменными(§2, пункт 1). Интегрируя, находим общее решение в неявном виде (общий интеграл)

.

Подставляя из начального условия в последнее соотношение и , получим, что .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 190; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!