Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных уравнений.

Теорема 15.3 если функция у₁(х) и у₂(х) – решения уравнения

y’’+p(x)y’+q(x)y=0 (2)

то функция при любых значениях постоянных С₁ С₂ также является решением уравнения 2.

Доказательство. Продифференцировав дважды функцию у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) и подставив выражения для y, y’, y’’ в левую часть уравнения 2 получим

Итак доказано что функция вида у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) с произвольными постоянными С₁ и С₂ являются решением уравнения 2. Естественно возникает вопрос не является ли это решение общим решением уравнения 2. Будет доказано что при некоторых условиях функции у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) является общим решением уравнения 2. Для выяснения этих условий введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций у₁(х) и у₂(х).

Функции у₁(х) и у₂(х) называются линейно-зависимыми на (а,б) если существуют такие числа а₁ и а₂ из которых хотя бы одно отличалось от нуля, для любого х из интервала (а,б) имеет место равенство

а₁у₁(х)+ а₂у₂(х)=0. (3)

очевидно что если функции у₁(х) и у₂(х) линейно зависимы то они пропорциональны. Действительно если а₁у₁(х)+ а₂у₂(х)=0 причем а₁¹0 и у₂¹0 то у₁(х)/ у₂(х)= - а₂/а₁=const. Верно и обратное.

Функции у₁(х) и у₂(х) называются линейно-независимыми на (а,б) если не существует таких чисел из которых хотя бы одно отлично от нуля что для любого х из интервала имеет место равенство 3.

Другими словами равенство 3 выполняется сразу для всех только если а₁=а₂=0.

Очевидно что если функции у₁(х) и у₂(х) линейно независимы то их соотношение у₁(х)/ у₂(х)¹const т.е. они не пропорциональны. Так например функции у₁(х)=х² и у₂(х)=х³ линейно-независимы на любом интервале (а,б) так как у₁(х)/у₂(х)=1/х¹const а функции у₁(х)=4х² у₂(х)=х² линейно-зависимы в любом промежетке так как у₁(х)/у₂(х)=4=const.

Предположим теперь что функции у₁(х) и у₂(х) являются решением уравнения 2. Как узнать являются ли они линейно-зависимыми или линейно-независимыми. Удобным аппаратом для исследования этого вопроса является так называемый определитель

Определитель Вронского является функцией определенной на (а,б) и обозначается W(у₁,у₂) или просто W(x).

Теорема 15,4. Если функции у₁(х) и у₂(х) линейно-зависимы на (а,б) то определитель Вронского составленный из них равен нулю на этом интервале.

Теорема 15,5. Если решения уравнения 2 линейно-независимы на (а,б) то определитель Вронского составленный из них отличен от нуля на этом интервале.

В которой а₁ и а₂ – неизвестные числа. Ток как определитель этой системы W(х₀)=0 то система 5 имеет нулевое решение а₁ и а₂. Рассмотрим функцию

у=а₁у₁(х)+ а₂у₂(х)

таким начальным условиям очевидно удовлетворяет решение у(х)=0. По теореме о существовании и единственности решения, решение у(х)=0 является единственным решением уравнения 2 с начальными условиями 6. Следовательно а₁у₁(х)+ а₂у₂(х)=0 а это означает что функции у₁(х) и у₂(х) линейно-зависимы на (а,б) что пртиворечит условию теоремы. Таким образом W(х)¹0 для всех хÎ(а,б).

Итак установлено что если функции у₁(х) и у₂(х) являются на (а,б) решениями линейного однородного уравнения 2 то составленный из них определитель Вронского равен нулю либо отличен от нуля на (а,б).

Теперь мы можем доказать при каких условиях функция у=а₁у₁(х)+ а₂у₂(х) будет общим решением линейно однородного уравнения 2.

Теорема 15,6. Если функции у₁(х) и у₂(х) – линейно-независимы на (а,б) решения уравнения 2 то функция

у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) (7)

где С₁ С₂ произвольные постоянные являются общим решением уравнения 2 на (а,б).

Доказательство. Прежде всего напомним что в силу теоремы 15,3 функция у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) при любых значениях постоянных С₁ С₂ является решением уравнения 2. Для того чтобы доказать что эта функция является общим решением уравнения 2 достаточно установить что из него можно выделить частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пусть х₀Î(а,б) и

-

В которой С₁ С₂ – неизвестные числа. Определитель этой системы естьВронского W(х₀). Так как по условию функции у₁(х) и у₂(х) – линейно-независимы на (а,б) то в силу теоремы 15,5 W(х₀)¹0. Поэтому система 9 имеет единственное решение которое обозначим С₁= С⁰₁ С₂= С⁰₂. Подставляя С⁰₁ и С⁰₂ в равенство 7 получим искомое частное решение уравнения 2 у= С⁰₁у₁(х)+ С⁰₂у₂(х) удовлетворяющее условиям 8. Это и означает, что решение 7 является общим решением уравнения 2.

Из доказанной теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения 2 достаточно найти два линейно-независимых частных решения и составить выражение 7 с произвольными постоянными.

Пример 1. Рассмотрим уравнение y’’-y=0

Отличен от нуля то эти решения линейно-независимы на всей числовой прямой. Следовательно общее решение данного уравнения можно записать в виде у=С₁е^х+ С₂е^-х где С₁ С₂ - произвольные постоянные.

В заключении покажем как можно найти общее решение уравнения 2 если известно только одно частное решение этого уравнения.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 293; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!