линейно неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь основные свойства решений линейно неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 1:

y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)

имеет место

Теорема 15,7. Общее решение уравнения 1 есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство. Пусть у*(х)- частное решение уравнения 1 а У(х)= С₁у₁(х)+С₂у₂(х) – общее решение соответствующего однородного уравнения 2 где С₁ С₂ - произвольные постоянные. Покажем что функция

у=у*(х)+У(х) (10)

отсюда следует что функция у=у*(х)+У(х) действительно яаляется решением уравнения 1.

Где С⁰₁ и С⁰₂ – определенные значения постоянных С₁ С₂. Отсюда заключаем что любое решение у уравнения 1 получается из решения 10 при соответствующем подборе произвольных постоянных С₁ С₂ в решении У(х) т.е. решение 10 является общим решением уравнения 1.

Таким образом чтобы найти общее решение линейно неоднородного уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного уравнения и хотя бы одно его частное решение. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Поэтому мы покажем как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть у=С₁у₁(х)+ С₂у₂(х) – общее решение однородного уравнения. Будем искать частное решение неоднородного уравнения 1 в виде :

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 183; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!