Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Рассмотрим уравнение

(1)

и начальные условия

.

(2)

В этом случае будем говорить, что поставлена задача Коши для уравнения (1).

Теорема. Пусть поставлена задача Коши (1) − (2), где функция непрерывна вместе со своей частной производной по переменной в замкнутой области , тогда существует такая окрестность точки , что внутри этой окрестности задача Коши имеет единственное решение.

Теорема даёт возможность по виду дифференциального уравнения (1) решать вопрос о существенности и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически данная теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку области проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области уравнение (1) имеет бесконечное число различных решений.

С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит, из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку плоскости .

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 245; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!