Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида: , (1)

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:

,

(1)

где , , функции непрерывные на одном и том же промежутке.

В частном случае, если , то уравнение

( )

называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнение (1) называют ещё неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Разрешая уравнение (1) относительно , получаем: видим, что оно является частным случаем уравнения (1) п.8 и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

Действительно, функция − непрерывная как функция трех переменных , , (она зависит от и линейно, а функции , и непрерывны по условию), частные производные и также является непрерывными функциями трех переменных , и (от и и не зависят, а как функции непрерывны по условию). Поэтому при любых начальных условиях , , где , уравнение (1) имеет единственное решение задачи Коши.

Теорема. Пусть поставлена задача Коши

, ,

(2)

где точка принадлежащая промежутку непрерывности коэффициентов уравнения (1), а , любые числа, тогда существует такая окрестность точки , в которой уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 212; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!