Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Понятие общего и частного решений

Рассмотрим уравнение второго порядка

(1)

с начальными условиями

.

(2)

По аналогии с утверждениями, сформулированными для уравнения первого порядка можно получить следующий обобщённый результат.

Теорема. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и её частные производные по переменным и ограничены в этой окрестности, тогда существует такая окрестность точки , в которой уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условием (2).

Определение 1. Точки, в которых выполняются все условия теоремы существования и единственности, будем называть допустимыми точками.

Определение 2. Общим решением уравнения (1) называется двупараметрическое семейство кривых , если для любых допустимых начальных условий (2) существует, причем единственная пара значений и , обращающих последнее уравнение в верное равенство.

Определение 3. Частным решением уравнения (1) называется любое решение, полученное из общего для конкретного значения параметров и , с помощью допустимых начальных условий (2).

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 216; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!