Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Будем рассматривать уравнения второго порядка разрешимые относительно старшей производной, т.е. имеющие, например, вид: . И остановимся на трёх частных случаях: 1. . , , , , , и т.д. Необходимо проинтегрировать данную функцию по ровно раз. Пример 1. Найти общее решение данного уравнения: . Решение: Проинтегрируем функцию два раза по переменной . , . Ответ: . 2. . Сделаем подстановку: . , , , . Рассмотрим два частных случая этого вида уравнений: а) , , . б) , , . Пример 2. Решить задачу Коши: , , . Решение: В данном дифференциальном уравнении явно отсутствует . Поэтому для понижения в нем порядка применим подстановку: , . Тогда получим: . Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Для его решения положим , . Тогда уравнение примет вид: , . Выберем функцию из условия , откуда находим . Теперь уравнение запишется так , , откуда , где − произвольная постоянная. Общее решение дифференциального уравнения примет вид: и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка . Следует заметить, что при решении задачи Коши для дифференциального уравнения высших порядков бывает целесообразно определять значение произвольных постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных интегрирование затрудняется, а иногда вообще невозможно в элементарных функциях. Поэтому прежде чем дальше решать уравнение, мы найдем , используя начальное условие . Имеем: , . Тогда уравнение примет вид: , откуда , где − произвольная постоянная. Используя начальное условие , находим . Следовательно, . Это и есть решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения. Ответ: . 3. . Произведём замену: тогда . , где функция от переменной , . − уравнение первого порядка. Пример 3. Решить задачу Коши , . Решение: Данное дифференциальное уравнение не содержит . Для понижения порядка применим подстановку: тогда . Тогда получим уравнение: , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные получим: , или . В силу начальных условий и мы имеем дифференциальное уравнение: . Разделяя в нем переменные и интегрируя, получим: или . Используя начальное условие , находим . Итак, решением задачи Коши будет . Ответ: .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 367; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |