Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение является полным дифференциалом некоторой функции .

.

, − общий интеграл дифференциального уравнения.

Пусть функции и и их частные производные первого порядка непрерывны в односвязной области , тогда если для любого то уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах. Докажем данное утверждение.

Доказательство: пусть дано уравнение (1), левая часть его равна полному дифференциалу функции .

,

, .

(2)

Продифференцируем равенства (2) по и :

, ,

Так как и непрерывное частное произведение второго порядка от одной и той же функции, то по теореме Шварца: , а значит .

Что и требовалось доказать.

Найдём неизвестную пока функцию для этого первое из равенств (2) проинтегрируем по переменной :

,

.

Найдём :

Последнее равенство продифференцируем по переменой :

,

так как , .

Теперь проинтегрируем по :

.

Итак: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.

Решение: Пусть , .

Убедимся, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, для этого проверим выполнимость равенства: .

, .

Равенство выполнено, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Запишем равенства (2) для данного уравнения:

, .

Тогда .

Найдем функцию , для этого продифференцируем функцию по переменной .

.

,

,

.

Итак .

− общий интеграл дифференциального уравнения. В нашем случае: .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 227; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!