Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция двух переменных называется однородной, если в результате тождественных преобразований её можно свести к некоторой функции одной переменной , то есть, выполнено равенство: .

Определение 2. Дифференциальное уравнение вида , где функция однородная функция двух переменных называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка:

.

Пусть , , − эта подстановка приводит к решению однородного дифференциального уравнения.

,

,

,

,

.

Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на , получим:

,

.

Данное уравнение является однородным, так как функция в правой части имеет вид . Сделаем замену , , . Получим:

,

,

,

,

,

,

.

Делаем обратную замену .

,

.

Ответ: − общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 2. Решить задачу Коши: , .

Решение: Очевидно, что это уравнение − однородное. Произведем в нем подстановку: , , .

Тогда будем иметь:

,

,

,

,

,

,

.

Делаем обратную замену: . Получаем: , − общее решение дифференциального уравнения.

Подставляя в общее решение начальное условие при , получим:

,

.

Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 230; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!