Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Я. Бернулли
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: где и функции непрерывные на одном и том же промежутке. К решению данного уравнения приводит следующая постановка (метод И. Бернулли): , , , . Так как функция представлена в виде произведения двух вспомогательных функций, то одну из них мы можем выбирать по своему усмотрению, а именно выберем функцию так, чтобы содержимое квадратной скобки обратилось в ноль. , , , , , , , , , , , . Итак, . Пример 1. Решить задачу Коши: , . Решение: Данное уравнение линейно относительно и . Следовательно, оно есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Произведем в нем подстановку: , . Тогда получаем: , . Выберем функцию так, чтобы , , , , , , , . При таком выборе функции уравнение примет вид: , , , , , . Таким образом, решение данного дифференциального уравнения имеет вид: . Используя начальное условие, находим . Подставляя значение в последнее равенство, получим искомое частное решение: . Итак, − частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Ответ: − частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение: Данное уравнение линейно относительно и . Следовательно, оно есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Произведем в нем подстановку: , . Тогда получим: , , , , , , , . При таком выборе функции уравнение примет вид: , , , . Таким образом, решение данного дифференциального уравнения имеет вид: . Ответ: . Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Решение: Данное уравнение не является для функции линейным, но оно линейное относительно функции . Умножим обе части уравнения на . , , , , , , , , , , , . При таком выборе функции уравнение примет вид: , , , . Таким образом, решение данного дифференциального уравнения имеет вид: , . Ответ: − общее решение дифференциального уравнения. Определение. Уравнение вида
называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному. Если , то уравнение (1) − линейное, а при − с разделяющимися переменными. В общем случае, разделив уравнение (1) на , получим:
Обозначим . Тогда . Отсюда находим . Уравнение (2) примет вид . Последнее уравнение является линейным относительно . Решение его известно. Таким образом, подстановка сводит уравнение (1) к линейному. На практике дифференциальное уравнение (1) удобнее решать методом И. Бернулли в виде (не сводя его к линейному). Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение: Данное уравнение является уравнением Я. Бернулли. Применяя подставку , получим: . , , . Найдем решение последнего уравнения: . Тогда исходное уравнение примет вид: , , , , . Общим уравнением данного дифференциального уравнения будет: или . Ответ: .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 214; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |