Теорема о структуре общего решения уравнения (1)

Общее решение уравнения (1) представляется в виде

y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x) (2)

где C₁ и С₂ – произвольные постоянные, а y₁ (x) и y₂ (x) – линейно независимые частные решения уравнения (1).

Доказательство.

На основании предыдущих теорем функция (2) является решением уравнения (1). Зададим начальные условия.

y = y₀, y′ = y′₀, при x = x₀. (3)

Покажем, что С₁ и С₂ можно подобрать так, чтобы выполнялись условия (3)

(4)

Система (4) – система линейных алгебраический уравнений относительно С₁ и С₂. Определитель этой системы

Покажем, что Δ ≠ 0.

, т.е. W(x) ≡ 0, но на основании теоремы Штурма-Лиувилля W(x) ≠ 0 ни при каком значении x.

Следовательно, Δ = W(x₀) ≠ 0, и система (4) имеет единственное решение С₁ и С₂. Т.е. С₁ и С₂ можно подобрать так, чтобы выполнялись условия (3). Следовательно, функция (2) – общее решение уравнения (1), что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 222; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!