Главная страница Случайная лекция
Мы поможем в написании ваших работ!
Порталы:
БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика
Мы поможем в написании ваших работ!
Свойства уравнения (1)
1. Сумма решений уравнения (1) является решением этого уравнения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1(x) и y2(x) – решения уравнения (1). Подставим в уравнение (1) сумму решений y1(x) + y2(x).
y1 ′′(x) + y2 ′′(x) + a1(y1(x) + y2(x))′ + a2 (y1(x) + y2(x)) = 0,
2. Если y1(x) – решение уравнения (1), а С – произвольная постоянная, то Сy1(x) есть так же решение уравнения (1).
Доказательство аналогичное.
3. Если y1(x) и y2(x) – решения уравнения (1), то линейная комбинация y = C1y1(x) + C2 y2(x) – тоже будет решением уравнения (1).
Рассмотрим систему функций y1(x), y2(x), …, yn(x). Эта система называется линейно зависимой, если хотя бы одна из функций является линейной комбинацией остальных.
y1(x) = С2 y2(x) + С3y3(x) + … + Cn yn(x).
Если ни одна из функций не является линейной комбинацией остальных, то система называется линейно независимой.
Пусть n = 2.Тогда
y1(x) = C2 y2(x) и
т.е. отношение двух линейно зависимых функций есть постоянная величина.
П р и м е р ы .
1. 
y1(x) = sin x, y2(x) = cos x, 
, функции линейно независимы.
2. y1(x) = e2x, y2(x) = 2e2x − линейно зависимы.
Пусть y1(x) и y2(x) – частные решения уравнения (1).
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Уравнение в полных дифференциалах. называется уравнением в полных дифференциалах, если Р(x,y) и Q(x,y) – непрерывные, дифференцируемые функции | | | Теорема о структуре общего решения уравнения (1) |
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 191; Нарушение авторских прав
Мы поможем в написании ваших работ!