Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

y′′ + a₁ y′ + a₂ y = Q(x) (1)

a₁, a₂ – постоянные коэффициенты, Q(x) – непрерывная функция х.

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, Q(x) – правая часть.

y′′ + a₁ y′ + a₂ y = 0 (2)

(2) – соответствующее однородное уравнение.

Теорема о структуре общего решения уравнения (1).

Общее решение уравнения (1) представляется в виде суммы частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

y = z + Y (3)

z– частное решение уравнения (1), Y – общее решение уравнения (2).

Доказательство.

Пусть z – частное решение уравнения (1). Введем в уравнение (1) новую функцию u .

y = u + z.

(u + z)′′ + a₁(u + z)′ + a₂(u + z) = Q(x).

u′′ + a₁ u′ + a₂ u + . Отсюда, u′′ + a₁ u′ + a₂ u = 0, т.е. u является решением уравнения (2). Пусть u = Y – общее решение уравнения (2). Тогда, возвращаясь в уравнении (1) к старой функции y, получим общее решение уравнения (1) в виде

Y = z + Y.

---

<== предыдущая страница	|	следующая страница ==>
	|	Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

---

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 168; Нарушение авторских прав

---

Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

Мы поможем в написании ваших работ!