Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение (1)

y′′ + a₁ y′ + a₂ y = Q(x) (1)

Будем считать, что a₁ и a₂ – постоянные коэффициенты. Общее решение –

y = z + Y.

Как найти Y известно, укажем способ нахождения частного решения zдля некоторых видов правой части Q(x).

1.

.P_m(x) – многочлен степени m.

a) Число α не является корнем характеристического уравнения

k² + a₁ k + a₂ = 0 (2)

Частное решение ищем в виде

z = e^{α x} R_m(x) (3)

R _m(x) – многочлен степени m с неопределенными коэффициентами.

Докажем, что коэффициенты многочлена R_m(x) можно подобрать так, чтобы функция (3) удовлетворяла уравнению (1). Подставив (3) в уравнение (1) после упрощения, получим

(α² + a₁α + a₂)R_m(x) +(2α + a₁) R_m′(x) + R_m′′(x) = P_m(x) (4)

Т.к. α² + a₁α + a₂ ≠ 0, в левой и в правой частях равенства (4) стоят многочлены степени m. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем коэффициенты многочлена R_m(x).

б) α – однократный корень характеристического уравнения. Тогда

α² + a₁α + a₂ ≠ 0, но 2α + a₁ ≠ 0.

Следовательно, в левой части равенства (4) имеем многочлен степени m – 1, а в правой – многочлен степени m. следовательно, равенство (4) никогда не будет тождеством, если искать решение в виде (3). Чтобы равенство (4) имело место, надо повысить степень многочлена R_m(x), т.е. искать решение в виде

z = e ^{α x}x R_m(x).

в) α – двукратный корень характеристического уравнения.

α² + a₁α + a₂ = 0, но 2α + a₁ = 0.

Уравнение (4) принимает вид

R_m′′(x) = P_m(x). (4)

В левой части имеем многочлен степени m – 2, а в правой – многочлен степени m. Чтобы равенство (4) имело место, решение следует искать в виде

z = e ^{α x}x² R_m(x).

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 184; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!