Общее правило для нахождения частного решения

Если правая часть имеет вид

,

то частное решение следует искать в виде

z = e ^{α x} x^p R_m(x),

где α берется из правой части, R_m(x) – многочлен степени m с неопределенными коэффициентами, а p есть кратность, с которой α входит в число корней характеристического уравнения:

p = 0, если нет корня, равногоα,

p = 1, если один корень равен α,

p = 2, если оба корня равны α.

П р и м е р ы .

1.1 y′′ + 2y′ = 5, y = Y + z ,

Q(x) = e ^{α x} P_m (x), z = e ^{α x}x ^p R _m (x), α = 2, m = 0, p = 1,

Q(x) = e ^{α x} P_m(x), z = e ^αx x ^p R_m(x) , α = -1, m = 1, p = 0.

р = 0, если среди корней характеристического уравнения нет корня, равного α + βi,
p =1, если один корень равен α + βi.

П р и м е р ы.

2.1. y′′′ + 2y′′= 5 sin x. y = Y + z, Y → y′′′ + 2y′′ = 0, k³+ 2k² = 0, k_{1 ,2}= 0, k₃ = -2.

y₁(x) = 1, y₂ (x) = x, y₃(x) = e^-2x. Y = C₁ + C₂ x + C₃ e ^-2x.

+

2.2. y′′ + 4y = 8 sin x, y(0) = 1, y′(0) = 2.

k²+ 4 = 0, k_{1, 2} = ± 2i , Y = C₁cos 2x + C₂ sin 2x.

Q(x) = e^{α x}(M cos βx + N sin βx), z = e^{α x} x^p (Acos βx + Bsin βx).

 

α = 0, β = 1, α + β i = i, p = 0,

2.3.

k² + 4 k + 13 = 0,k_1,2 = -2 ±3i, Y = C₁e^-2xcos 3x + C₂ e^-2x sin 3x,

---

<== предыдущая страница	|	следующая страница ==>
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами	|	Метод вариации произвольных постоянных

---

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 258; Нарушение авторских прав

---

Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

Мы поможем в написании ваших работ!