Главная страница Случайная лекция
Мы поможем в написании ваших работ!
Порталы:
БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика
Мы поможем в написании ваших работ!
Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим уравнение
y″+ a1y′ + a2y = Q(x) (1)
Пусть Q(x) – непрерывная функция произвольного вида. Укажем способ нахождения общего решения этого дифференциального уравнения.
Рассмотрим общее решение соответствующего однородного уравнения
y = C1 y1(x) + C2 y2(x) (2)
Будем искать решение уравнения (1) в виде (2), но С1 и С2 при этом будем считать не произвольными постоянными, а некоторыми пока неизвестными функциями от x.
y = C1(x)∙ y1(x) + C2(x)∙ y2(x) (3)
Для нахождения функций С1(х) и С2(х) подставим (3) в (1). Найдем
y′ = C1′y1 + C2′ y2 + C1y1′ + C2 y2 ′
Нам надо найти две функции С1 (х) и С2(х), а уравнение, которому должна удовлетворять функция (3) – одно. Поэтому одно соотношение, связывающее С1 и С2, можновзять произвольно.
Положим
C1′y1 + C2′ y2 = 0 (*)
Тогда
y = C1 y1(x) + C2 y2(x) a2
+ y′= C1y1′ + C2 y2 ′ a1
y″ = C1′y1′ + C2′ y2′ + C1y1″ + C2 y2 ″ 1
 |
C1(y1″+ a1 y1′ + a2 y1) +C2(y2 ″+ a1 y2′ + a2 y2) + C1′y1′+ C2′ y2′ = Q(x)
≡ 0 ≡ 0
Следовательно, функции С1(x) и C2(x) должны удовлетворять системе уравнений
C1′y1 + C2′ y2 = 0 (4)
C1′y1′+ C2′ y2′ = Q(x)
Это линейная алгебраическая система относительно С1′ и С2′. Определитель этой системы
Как было показано при доказательстве теоремы о структуре общего решения однородного уравнения в силу линейной независимости функций y1 (x) и y2 (x), этот определитель не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно, система (4) имеет единственное решение
Подставляя С1(х) и С2 (х) в соотношение (3), получим общее решение уравнения (1).
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Общее правило для нахождения частного решения | | | Динамические модели механических и электрических колебаний |
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 232; Нарушение авторских прав
Мы поможем в написании ваших работ!