Определение производной

Дифференциальное исчисление

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и пусть x - некоторая точка этой окрестности. Если существует предел отношения при x®x₀, то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x₀ и обозначается .

Итак, .

Обозначив x-x₀=Dx, Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)=

f(x)-f(x₀),

получим .

Замечание 1.Условие непрерывности в принятых обозначениях можно записать в виде или . Это равенство называется разностной формой условия непрерывности функции в т. x₀.

Если для некоторого значения x₀ выполняется условие , то говорят, что для этого значения x₀ существует бесконечная производная, равная соответственно +¥, -¥, ¥.

В дальнейшем под выражением “функция имеет производную” мы будем понимать наличие конечной производной, если не оговорено противное.

Если функция y=f(x) определена в правосторонней ( левосторонней) окрестности точки x₀ и существует конечный или бесконечный предел отношения , то он называется, соответственно, конечной или бесконечной производной справа (слева) функции y=f(x) в точке x=x₀ и обозначается .

Правая и левая производные называются односторонними производными.

Теорема.Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x=x₀ , имеет производную тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу, т.е. . В этом случае .

Доказательство теоремы следует из теоремы об односторонних пределах.

Операция вычисления производной от функции называется операцией дифференцирования.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 211; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!