Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной на некотором интервале (a,b)

Рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной на некотором интервале (a,b). Точка M₀ на графике (см. рис.)

соответствует значению аргумента x0Î(a,b),а точка M- (x=x0+DxÎ(a,b)), где Dx - некоторое приращение аргумента. Прямая, проходящая через точки М0, М, называется секущей. Обозначим через j(Dx) угол, который образует секущая М0М с положительным направлением оси Оx.

Определение.Касательной к графику функции y=f(x) в точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М при стремлении точки М к точке М₀ по графику (или при Dx®0 вследствие непрерывности y=f(x)).

Очевидно, что .

Докажем следующую лемму.

Лемма.Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x=x₀, тогда справедливы следующие два утверждения:

1) график функции y=f(x) имеет касательную в точке М₀, соответствующей значению аргумента x₀;

2) угловой коэффициент касательной равен .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 193; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!